sinx/x = 1 kyu aur Kyase? Animation me dekhiye. Limit sinx by x. Differencial Calculus

Why Sinx by x = 1? Differencial Calculus. Limit f sinx/x

For class 12, Class 11, JEE MAIN, NEET students.



Hello friends!
Today, we are going to realize, the limiting value of sine x, divided by, x, which is vastly used in study of calculus.

Suppose, O A D, is a right angled triangle, whose Angle, A O D, has a value of, x. Where, x is measured in radian. And, its Hypotenuse O A, has a fixed length of r. Angle, A O D, can change its value, freely. So, the other two arms of Triangle, namely, the arm O D, and the arm O A, undergo a variation of lengths. From the principle, sine x is, A D, divided by, r.

Note that, values of sine x is smaller, when x is smaller.

Also, we have a variable angle with us. Its name is, angle, A O B. Its value is, x, and, measured in radian. If, the radius of the Circle is, r. Then, we get, x equals, arc A B, divided by, r.

Now, superpose these two diagrams. And, observe the variations.

Also, take ratio of, sine x, and, x. Thus, sine x, divided by x, equals, arm A D, divided by arc A B. So, the value of the ratio, sine x divided by x, depends on two quantities. First one, is the length of the arm, A D. And, the second one, is the length of the arc, A B.

NOW, note the variations. If, x is about one radian, then arc A B is much longer than arm A D. As x tends to zero, the arm A D, and the arc A B, become equal in length. Thus, the limiting value of sine x divided by x is, 1.

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sinx/x = 1 kyu aur Kyase? Animation me dekhiye. Limit sinx by x. Differencial Calculus

मान लीजिए, O A D, एक समकोण त्रिभुज है, जिसके, कोण A O D, का मान, x है। जहाँ, x को, रेडियन में मापा गया है। और, इसके भुजा, O A की, निश्चित लंबाई, r, है। कोण A O D, अपने मान को स्वतंत्र रूप से बदल सकता है। इसके चलते, त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ, अर्थात्, भुजा O D, और, भुजा O A, भिन्न-भिन्न लंबाई से गुजरती हैं। त्रिकोणमितीय सिद्धांत से हमें मिला, sin x का मान, भुज A D, विभाजित r ।

ध्यान दें, जब कोण x छोटा होता है, तो, साइन x का मान भी छोटा होता है।

इसके अलावा, हमारे पास एक परिवर्तनशील कोण है। इसका नाम, कोण A O B, है। इसका मान, x है। और ये भी रेडियन इकाई में मापा गया है। यदि, वृत्त की त्रिज्या, r है। तो फिर, x का मान, चाप A B, विभाजित, r है।

अब, इन दो आरेखों को सुपरपोज़ करें। और, विविधताओं का निरीक्षण करें।

इसके अलावा, साइन x, और x का, अनुपात निकालें। इस प्रकार, साइन x, विभाजित x का मान मिला, भुजा A D, विभाजित, चाप A B। तो अपने देखा कि, साइन x, विभाजित कोण x का मान, दो लम्बाई पर निर्भर करता है। पहला हैं, भुज A D की लंबाई। और, दुसरा है, चाप A B का लम्बाई।

अब, विविधताओं पर ध्यान दें। जब कोण x क माण 1 रेडियन के आसपास होता है, तब बृत्तचाप A B का लम्बाई, भुजा A D से काफी बड़ा रहेता है। लेकिन, x का छोटा होने से ये अंतर धीरे धीरे घट जाता है। और, जैसे ही x शून्य की ओर जाता है, भुजा A D, और चाप A B, लंबाई में बराबर हो जाते हैं। इस प्रकार, साइन x, विभाजित, कोण x का सीमित मान, 1 है।

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