Momenti statici di sistemi a massa continua lineare.
Il calcolo dei momenti statici Sx e Sy rispetto agli assi X e Y di un sistema a massa continua lineare, come nel caso di un tondino da calcestruzzo armato, si basa sulla distribuzione della massa lungo una linea e sulle distanze dei vari segmenti di massa rispetto agli assi considerati. Questi momenti sono fondamentali in ingegneria, specialmente quando si analizzano strutture soggette a forze, poiché forniscono informazioni sull'equilibrio e la distribuzione del peso.
I Momenti statici o del primo ordine Sx e Sy
Il momento statico del primo ordine di una massa distribuita lungo una linea, come un tondino di calcestruzzo armato, rispetto a un asse X o Y, si calcola come l'integrale del prodotto della densità lineare della massa e della distanza dei segmenti infinitesimi di massa dall'asse di riferimento.
Dati di partenza
Conosciamo ovviamente la posizione del tondino che va dal punto A al punto B di coordinate note A(18:14) B(61,30;39). Da ciò il calcolo dell’angolo alfa=arcotan((Yb-Ya)/(Xb-Xa)). Ovviamente sono note le caratteristiche del tondino nel senso che si tratta di un Fi28 con sezione di diametro 2,8 cm (28 mm) e area 6,16 cm^2. La massa a metro lineare di tondino, o se volete la densità di massa lineare è mi=4,83 kg/m.
Definizione dell’elemento infinitesimo di massa dm
Il primo passo è la definizione dell’elemento infinitesimo di massa dm, la sua lunghezza è dl, la proiezione sull’orizzontale è dx, la proiezione sulla verticale è dy. L’elemento infinitesimo di massa può essere espresso così: dm=mi.dl. Inoltre siccome dl=dx/cos(alfa) e dl=dy/sen(alfa) potremo scrivere dm=mi.dx/cos(alfa) e dm=mi.dy/sen(alfa). A questo punto possiamo passare alla definizione dei momenti statici.
Momento statico Sx rispetto all'asse X
Il momento statico elementare di dm rispetto all’asse x vale dSx=dm.y. Quindi inseriamo nella formula l’espressione trovata in precedenza di dm ottenendo dSx= (mi.dy/sen(alfa)).y che può essere scritta anche così dSx=(mi/sen(alfa)).y.dy. A questo punto sommiamo gli infiniti contributi dSx per la lunghezza del tondino e cioè da A a B. Questo significa utilizzare l’integrale definito in questo modo Sx=INTEGRALEdaAaB((mi/sen(alfa)).y.dy). Applicando le regole degli integrali definiti avremo alla fine Sx=(mi.(Yb^2-Ya^2))/2sen(alfa). Nel video troverete tutti i passaggi numerici.
Momento statico Sy rispetto all'asse Y
Analogamente a quanto visto nel paragrafo precedente, Il momento statico elementare di dm rispetto all’asse y vale dSy=dm.x. Quindi inseriamo nella formula l’espressione trovata in precedenza di dm ottenendo dSy= (mi.dx/cos(alfa)).x che può essere scritta anche così dSy=(mi/cos(alfa)).x.dx. A questo punto sommiamo gli infiniti contributi dSy per la lunghezza del tondino e cioè da A a B. Questo significa utilizzare l’integrale definito in questo modo Sy=INTEGRALEdaAaB((mi/cos(alfa)).x.dx). Applicando le regole degli integrali definiti avremo alla fine Sy=(mi.(Xb^2-Xa^2))/2cos(alfa). Nel video troverete tutti i passaggi numerici.
Applicazione al tondino da calcestruzzo armato
Nel caso di un tondino di calcestruzzo armato, la densità mi sarà determinata dalla composizione del materiale e dalla sezione trasversale del tondino. Se si considera un tondino a sezione costante lungo la sua lunghezza, i calcoli possono essere semplificati poiché la densità sarà costante. Per un tondino o altro elemento uniforme, i momenti statici servono per calcolare le coordinate del baricentro del sistema a massa continua. Ad esempio, se il tondino è perfettamente simmetrico rispetto agli assi X e Y baricentrici, i momenti statici Sx e Sy saranno uguali a zero, indicando che il baricentro coincide col centro geometrico del tondino adottato come origine degli assi del sistema di riferimento. In pratica, questi calcoli sono utili per determinare l'equilibrio delle strutture, come nella progettazione di travi o pilastri in calcestruzzo armato, dove è necessario capire come la massa e le forze si distribuiscono rispetto ai vari assi di riferimento.